miércoles, 25 de noviembre de 2015

FRACCIONES. OPERACIONES

La fracción y sus términos. Representación

La fracción se utiliza para representar las partes que se toman de un objeto que ha sido dividido en partes iguales.
Por ejemplo, dividimos una pizza en 8 partes iguales y cogemos tres. Esto se representa por la siguiente fracción:


Los términos de la fracción se denominan: numerador y denominador.

¿Cómo se leen las fracciones? Se leen en función de cuál es su denominador:
1 / 2: un medio
1 / 3: un tercio
1 / 4: un cuarto
1 / 5: un quinto
1 / 6: un sexto
1 / 7: un séptimo
1 / 8: un octavo
1 / 9: un noveno
1 / 10: un décimo
1 / 11: un onceavo
1 / 12: un doceavo
1 / 13: un treceavo
Veamos algunos ejemplos:

En la caja que tienes a tu derecha el color verde podemos representar en forma de fracción del modo siguiente:
Fracciones
Fracciones
¿Por qué?
A la caja, al objeto, lo hemos dividido en 5 partes iguales. Toda la caja vale 1 y cada trozo Fracciones de la caja. Si cada trozo de color verde es Fracciones de toda la caja, los tres trozos de color verde valdrán:
Fracciones
Hemos tomado 3 partes (las de color verde) y de esta forma ya tenemos el numerador.
En el denominador, acuérdate que se escribe el total de partes en que hemos dividido al objeto. En este caso, 5 porciones o partes. 

Actividades de repaso:
  1. Fracciones I.
  2. Fracciones II.
  3. Fracciones III.
  4. Representación de fracciones I.
  5. Representación de fracciones II.



Reducción de fracciones a común denominador

Para reducir fracciones a un común denominador tenemos dos métodos: 

Método de los productos cruzados de los numeradores.


Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos

cruzados, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por los

denominadores de las demás.








Método del mínimo común múltiplo.

 Reducir fracciones a común denominador es encontrar otras fracciones equivalentes a las originales, de forma que tengan todas igual denominador.

 ¿Cómo se hace? Seguimos estos pasos:

- 1) Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

- 2) Como denominador de las nuevas fracciones ponemos el mcm calculado antes.

- 3) Como numerador de cada nueva fracción, ponemos el resultado de dividir el mcm entre el denominador y multiplicar por el numerador.

Ejemplo: Reducir a común denominador las fracciones
 \frac{2}{3} \:,\:  \frac{7}{12} \:,\: \frac{5}{8}
- 1) m.c.m.(3, 12, 8) = 24
- 2)  \frac{}{24} \:,\:  \frac{}{24} \:,\: \frac{}{24}
- 3) 24:3  \cdot 2 = \fbox{16} \enspace , \enspace 24 :12 \cdot 7 = \fbox{14} \enspace , \enspace 24:8 \cdot 5 = \fbox{15}

El resultado sería:
 \frac{16}{24} \:,\:  \frac{14}{24} \:,\: \frac{15}{24}

Actividades de repaso:
  1. Método de los productos cruzados.
  2. Método del m.c.m. I
  3. Método del m.c.m. II

Comparación de fracciones

Hay tres casos:
  • fracciones que tienen el mismo denominador;
  • fracciones que tienen el mismo numerador;
  • fracciones que tienen distinto numerador y denominador.
Primer caso: dos o más fracciones que tienen igual denominador es mayor la que tiene mayor numerador. Ejemplo:
3
      7
----
<    ----
4
        4
La mayor es 7/4.

Segundo casodos o más fracciones que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.
5
       5
---- 
<    ----
4
        2
La mayor es 5/2.

Tercer caso: dos o más fracciones con distinto numerador y denominador hay que reducir fracciones a común denominador  y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. 


Truco: si te cuesta comprender una fracción, recuerda que el denominador son los caramelos que se reparten y el numerador lo que se cogen. 
Por ejemplo si te dicen que que es mayor si 3/12 ó 1/6. Piensa que te conviene si coger 3 caramelos de 12 ó 1 caramelo de 6... y verás como intuitivamente te aclaras...


Número mixto

Llamamos número mixto al que tiene una parte entera y otra fraccionaria (una fracción propia –numerador más pequeño que el denominador), por ejemplo:
Una fracción impropia es : Números Mixtos
La parte entera es:  Números Mixtos y la fracción propia:  Números Mixtos.
Un número mixto también es:  Números Mixtos. Su parte entera es   Números Mixtos y la fraccionaria  Números Mixtos.

Las fracciones que obtenemos al convertir un número mixto siempre son IMPROPIAS (el numerador mayor que el denominador).
Es muy simple convertir un número mixto en fracción:
MULTIPLICAS EL ENTERO POR EL DENOMINADOR Y LE SUMAS EL NUMERADOR. COMO DENOMINADOR EL MISMO:
CONVERTIR UN NÚMERO MIXTO EN FRACCIÓN:
Ahora vamos a ver como se convierte una fracción impropia en un número mixto:
Convierte la fracción impropia Números Mixtos en un número mixto.
Convierte la fracción impropia Números Mixtosen un número mixto.
Convierte la fracción impropia Números Mixtosen un número mixto.
Es muy sencillo dividimos el NUMERADOR entre el DENOMINADOR, el cociente será la parte entera y el resto será el numerador de la parte fraccionaria, lo único que no varia es el denominador.


Vamos a ver los resultados de los ejercicios anteriores:

Números Mixtos


Actividades de repaso:
  1. Comparación de fracciones I.
  2. Comparación de fracciones II.
  3. Comparación de fracciones III.
  4. Ordenación de fracciones.


Adición y sustracción de fracciones

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los
numeradores y se deja el mismo denominador.


Veamos un ejemplo:
Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:
Veamos otro ejemplo:
Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:


SUMA Y  RESTA DE  FRACCIONES CON  DISTINTO DENOMINADOR

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador primero se reducen las
fracciones a común denominador y después se suman o restan.

Ejemplos:
Vamos a calcular las fracciones equivalentes:
Primero calculamos el denominador común: si calculamos los múltiplos de 4, de 3 y de 5 vemos que el m.c.m. es 60.
Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción: 
Primera fracción:
Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 4 =15
Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 = 30
Segunda fracción:
Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 3 = 20
Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 =120
Terecra fracción:
Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 5 =12
Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 = 36

Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:
Y procedemos a la suma:
Pincha sobre la imagen y verás un vídeo explicativo.
 Suma y resta de fracciones



Actividades de repaso:
  1. Suma y resta con igual denominador.
  2. Suma de fracciones.
  3. Resta de fracciones.
  4. Suma y resta con distinto denominador I.
  5. Suma y resta con distinto denominador II.


Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones:
Se multiplican sus numeradores y sus denominadores:
Vamos a ver otros ejemplos:

  • Multiplicación de un entero por una fracción:

         Al multiplicar un número por una fracción estamos calculando la fracción de esa cantidad.

3 / 8   de  320 
Se multiplica el numerador por el número y el denominador se deja el mismo.
          3 x 320 = 960            960 / 8 = 120
               
       
        Por ejemplo: 
       
        En una clase de 30 niños, 2 / 3 nunca juegan al fútbol ¿cuántos son?
2 / 3 x 30 = (2 x 30) / 3 = 60 / 3 = 60 : 3 = 20 niños

    División de fracciones





      • Actividades de repaso:
                  Repaso la unidad (I)
                 Repaso la unidad (II)



      jueves, 5 de noviembre de 2015

      DIVISIBILIDAD


      Múltiplos de un número




















      Actividades de repaso:
      6.- Salvando múltiplos


      Mínimo común múltiplo

      ¿Qué es un "múltiplo común"?
      Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

      Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:
      Los múltiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...
      Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...
      ¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (y 60, 80, etc. también)

      ¿Qué es el "mínimo común múltiplo"?

      Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes distinto de cero.
      En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.
      Calcular el mínimo común múltiplo
      En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.

      Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

      Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:
      Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15
      Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.

      Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8

      Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
      Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
      Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....
      Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)
      Pista: puedes hacer listas más pequeñas de los números más grandes.
      Actividades de repaso:

      Divisores de un número













      NOTA: Para calcular los divisores de un número dividimos dicho número entre los números naturales menores o iguales que él. Si la división es exacta, el número es divisible entre ese número natural.



      Actividades de repaso:
      1.- Cálculo de los divisores.
      2.- Divisores de un número I.
      3.- Divisores de un número II.
      4.-  LA CALCULADORA: Múltiplos y divisores.

      Criterios de divisibilidad

      Criterio de divisibilidad por 2

      Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
      Ejemplo:
      24, 238, 1 024, ...

      Criterio de divisibilidad por 3

      Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
      Ejemplo:
      564 flecha 5 + 6 + 4 = 15 flecha15 es múltiplo de 3
      2 040flecha 2 + 0 + 4 + 0 = 6 flecha 6 es múltiplo de 3

      Criterio de divisibilidad por 5

      Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.
      Ejemplo:
                     45, 515, 7 525, 230, ...

      Criterio de divisibilidad por 9

      Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
      Ejemplo:
      81 flecha8 + 1 = 9
      3 663 flecha3 + 6 + 6 + 3 = 18 flecha 18 es múltiplo de 9  

      Criterio de divisibilidad por 10

      Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.
      Ejemplo: 
      130, 1 440, 10 230, ...
         Actividades de repaso:
      Máximo común divisor

      El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.
      • Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)
      • Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
        20 :  1, 2, 4, 5, 10 y 20
          10 :  1, 2, 4, 5 y 10        

        M.C.D. (20 y 10) =  10


        Actividades de repaso:



      Números primos y números compuestos.
      Un número primo se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo.
      Un número compuesto se puede dividir exactamente entre otros números además de 1 y él mismo.
      (Así que cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto)

      Ejemplos

      Número
      Se puede dividir
      exactamente entre
      ¿Primo o
      compuesto?
      1
      (1 no es primo ni compuesto)
      2
      1,2
      Primo
      3
      1,3
      Primo
      4
      1,2,4
      Compuesto
      5
      1,5
      Primo
      6
      1,2,3,6
      Compuesto
      7
      1,7
      Primo
      8
      1,2,4,8
      Compuesto
      9
      1,3,9
      Compuesto
      10
      1,2,5,10
      Compuesto


       Actividades de repaso:
      Small Pencil